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由一道习题引发的讨论

编辑:石家庄思锐家教咨询有限公司  时间:2012/03/30  字号:
摘要:由一道习题引发的讨论
一、案例背景
我班有个学生,是校竞赛班的学生,他平时爱钻研,喜欢动脑筋。某日,我上了九年级下册第三章第二节《三角形的内切圆》这节课;第二天,他来找我,神秘地说:“老师,我做了课内练习第1题:已知正三角形的边长为6cm,求它的内切圆和外接圆的半径。(答案:内切圆和外接圆的半径分别为cm和2cm)发现等边三角形的外接圆和内切圆的圆心相同,等边三角形的外接圆的半径是内切圆半径的2倍;而作业里第6题:已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm,腰长为50cm,(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径;(答案:最大圆的半径即内切圆为15cm)(2)用一个圆完全覆盖这块钢板,这个圆的最小半径是多少?(答案:这个圆的最小半径即外接圆的半径31.5cm)(3)求这个等腰三角形钢板的内心与外心的距离。(答案:6.25cm)发现等腰三角形的外接圆和内切圆的圆心在一条线上,等腰三角形的外接圆的半径大于内切圆的2倍。这两个结论对吗?能证明吗?”我看着他天真又带着渴望的脸,抿着嘴眯着眼浅笑,有些神秘:“哟,不可小觑呵!这么能发现问题啊!”本想立即对这个问题作出正面回答,突然我脑子里一闪:何不如此……于是,我一本正经、卖着关子地对他说:“对这个问题老师一下子也说不好,既然你觉得你的结论可能是对的,老师相信你能够有办法证明你发现的结论,不如我们下次上竞赛辅导课的时候,大家共同探讨一下三角形的有关外接圆的半径和内切圆的半径问题,你顺便通知竞赛班的其他同学,让他们也参与这个问题的探讨。”
二、案例描述
几天后,竞赛辅导课如期而至。
师:同学们,几天前布置给你们的探讨三角形上的外接圆半径与内切圆的半径关系的任务进行得怎么样?
众生:我们已经有结果了:三角形上的外接圆半径R大于等于内切圆的半径r的2倍!
师:哟!了不起呵!这么讨巧,一不小心同学们个个都变成小欧拉呢!欧拉可是历史上最伟大的数学家之一!刚才同学们说的结论就是著名的欧拉不等式:若三角形的外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,则R≥2r。
学生的脸上洋溢着满意的微笑。
师:同学们想到用什么方法证明它了吗?
迟疑了一会儿,学生代表(生1)将大家的想法和方案提出来。
生1:我们有两个方案,方案1:利用平面几何知识证明;方案2:建立直角坐标系,利用平面解析几何知识,通过计算直线的交点的坐标,算出R和r的表达式而证之;但“方案1”不知从何下手,还没有找出正确的证明方法。方案2:我们建立了直角坐标,标出了三角形各顶点的坐标,然后根据顶点的坐标,利用平面解析几何知识,通过计算直线的交点的坐标,计算出三角形的外接圆的半径R和内切圆的半径r的表达式,可是,R、r的表达式过于繁琐,难以比较大小,所以还是未能证出“R≥2r”。老师,你能够给我们提示一下吗?
望着学生期待的目光,我心中窃喜。
在探究活动中,我让学生展示解决数学问题的思维过程,并发现学生思维障碍所在之处,是教学的切入口、突破口,也是激发学生强烈的求知欲望的源泉,它能够激发学生思维的积极性,诱发学生的求知欲望,对培养学生的分析问题、解决问题的能力起着非常重要的作用。
师:同学们,你们能够从不同角度考虑问题,虽然问题没有得到解决,但想法还是不错的。
学生个个自信地微笑着。
师:你们用了几种常规的数学思想方法解决此问题时,都遇到了困难,说明此问题比较困难,那么你们不会将此问题简单化吗?!难道你们没有想到当初是如何发现问题的吗?
听我这么一讲,学生的探索愿望重新被点燃,个个跃跃欲试,马上开始自主尝试,不一会儿,便有学生想到问题的最特殊的情况(三角形是等边三角形),命题成立,站起来回答出这种情况的答案。
生2:当三角形是等边三角形时,内心、外心、重心、垂心四心合一,由重心定理即得R=2r,命题成立。
师:哇,精彩!这你也能发现?你真是太聪明了!
生2满脸红光,激动万分。
师:那么当三角形△ABC是等腰三角形时,命题成立吗?
我把画有图(1)第一张幻灯片用幻灯机放出来。这时,学生个个激情昂扬,并不时地议论、争辩。学生议论纷纷:有的说用三角形相似证明;有的说用射影定理证明;有的说用三角函数知识证明等。学生踊跃思考,各述己见、互不相让;整个课堂气氛达到高潮。最后大家经过热烈的讨论、认真分析、演算之后得出当三角形△ABC是等腰三角形的证明情况,由学生代表(生3)回答。
师:哈哈,你们太聪明、能干了!Very good,Very good!当三角形△ABC是等腰三角形时的情况证明做得很精彩。
这时学生的脸上洋溢着胜利的微笑,他们个个满脸红光,眼中闪烁着智慧的光芒。
师:但是,当三角形△ABC是等腰三角形的情况还是它的特殊情况,它的一般情况即当三角形△ABC是不等边三角形时,还有待同学们继续努力证明出来。
这时,我将画有图(2)的第二张幻灯片用幻灯机放出来。学生努力、积极地思考着……
过了一会儿,学生还想不出什么。于是我就提醒学生用第一步已证的结论。
师:当三角形△ABC是等腰三角形时命题已经成立,你们能否将它用来证明现在的结论呢?
于是我在第二张幻灯片上加上图(3)。然而学生还是想不出来如何将三角形△ABC与三角形△A″BC连起来考虑。于是,我在第二张幻灯片上加上图(4)、图(5)。这一下,学生都看清楚了,纷纷举手发言,讲出证明过程。
生4:在图(4)中,等腰△ABC与三角形△A′BC的面积相等,但△ABC的周长比三角形△A′BC的周长长,因而△ABC的内切圆的半径比三角形△A′BC的内切圆的半径小,所以△ABC的内切圆的半径小于△A′BC的外接圆的半径的一半;在图(5)中,△A′BC的外接圆的半径小于△A″BC的外接圆的半径,△ABC与△A″BC共圆,它们的外接圆的半径一样,因此△ABC的内切圆的半径小于△ABC的外接圆的半径的一半,命题得证。
生5:在图(5)中,∠A″BC>∠ABC,所以∠A″BC的平分线与底边上的高的交点(内心)在∠ABC的平分线与底边上的高的交点(内心)的上方,因而△ABC的内切圆的半径小于△A″BC的内切圆的半径,因此,△ABC的内切圆的半径小于△ABC的外接圆的半径的一半,即△ABC的内切圆的半径小于△A″BC的外接圆的半径的一半,命题得证。
师:你们实在太厉害了!如果你们早生几百年,个个都会是小欧拉。
我接着在第二张幻灯片上加上解题过程,将它放映出来。
证明:设:等腰△A″BC与等腰△ABC的外接圆的半径为R(它们共圆),内切圆的半径分别为r″、r,△ABC的面积为S,周长为C,△A′BC的外接圆的半径为R′,内切圆的半径分别为r′,面积为S′,周长为C′。
∵△ABC与△A′BC等高同底,
∴S=S′。
∵2S=Cr=AB+AC+BC,2S′=C′r′=A′B+A′C+BC。
A′B+A′C数形结合看出来,或平面几何知识证明 />  ∴r  ∵2r′  ∴2r  ∵△A′BC在圆内,
∴R′  ∴2r  在学生出现思维障碍之后,我加以正确的引导。帮助学生分析问题,克服学生思维障碍,找出解决问题的方法,是教学成功的关键,是我们的天职,也是我们教学的主要目的之一。
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